Kurt Gyudel va butun matematikaning asoslarini yiqgan teoremalar

1931-yil, Vena. 25 yoshdagi avstriyalik mantikchi Kurt Gyudel bir maqola yuboradi. Unda matematika sohasida yuz yillab uchrayotgan eng kattakacha umid — har bir haqiqatni isbotlash imkonini beruvchi universal asos — butunlay yiqilardi. Gyudelning "to‘liq emaslik teoremalari" faqat formulalar emas, aksincha, biz bilish haqidagi tushunchamizni o‘zgartirdi. Bugun, deyarli yarim asr o‘tganidan keyin, bu natijalar kompyuter fanlari, fizika va hatto haqiqat tabiati bo‘yicha falsafa bahslari o‘rtasidagi aloqani shakllantirib bormoqda.

Nima uchun bu muhim edi: Gilbertning "davlat buyrug‘i"

XX asr boshlanishida matematika fundamentallashtirish bosqichida edi. David Gilbert yetakchi matematiklaridan biri, ilim uchun uchta shart qo‘ydi: aksiyomlar tizimi muvofiq (hech qanday ziddiyatga yo‘l qo‘ymasligi), to‘liq (har bir haqiqat isbotlanishi) va qaror qabul qilinadigan (har bir ibora rostlik yoki yolg‘onligi algoritmik yo‘l bilan aniqlanishi) bo‘lishi kerak edi. Bu "Gilbert dasturi" deb ataldi. Matematiklar haqiqatning yagona manbasi, har bir savolga javob beruvchi "butun nazariya"ni qidirishdi.

Gyudel bu hayolni buzdi. Uning birinchi teoremasi: har qanday yetarlicha murakkab aksiyom tizimi (arifmetikani ifodalovchi) to‘liq emas — yani, tub sonlar haqida rost bo‘lgan, lekin tizim ichida isbotlanolmaydigan iboralar doim mavjud. Ikkinchi teoremasi esa ancha og‘ir edi: tizim o‘z muvofiqligini o‘zi isbotlay olmasa kerak. Demak, matematikada "yagona haqiqat manbasi" yo‘q; isbotlanishi faqat tanlangan boshlang‘ich qabulga bog‘liq, fundamental haqiqatga emas.

Asosiy g‘oya: Tizim o‘zini o‘zi tasvirlashi

Gyudelning dahosi yangi aksiyomlar topishda emas, balki tizim ichidagi "nutq"ni raqamlarga aylantirish usulini izlab topishda yashirin edi. Bu usul bugun Gyudel raqamlash (Gödel numbering) deb ataladi.

Ushbu usul uchta bosqichdan iborat:

• Simvollarni kodlash. Matematik tilning barcha asosiy belgilari (masalan, "yo‘q" uchun ~, "yoki" uchun , "teng" uchun =, "nol" uchun 0, "keyingi son" uchun s va boshqalar) 1 dan 12 gacha bo‘lgan raqamlar bilan belgilandi. O‘zgaruvchilar (x, y, z) esa 12 dan katta tub sonlarga (13, 17, 19...) murojaat qilindi.
• Formulalarni yagona raqamga aylantirish. Har bir formula belgilar ketma-ketligi. Gyudel har bir belgining kodini tub sonlarning darajasi qilib oldi. Masalan, 0 = 0 formulasi (kodlari: 6, 5, 6) quyidagiga aylantirildi: 2 × 3 × 5 = 243 000 000. Arifmetikaning fundamental teoremasi (har bir son faqat bitta yo‘l bilan tub ko‘paytuvchilarga ajraladi) sababli, bu raqamdan asl formula faqat bitta yo‘l bilan tiklanishi mumkin. Hech qanday ikki formula bir xil Gyudel raqamiga ega bo‘lmaydi.
• Isbotlarni ham raqamga aylantirish. Isbot — bu formulalar ketma-ketligi. Shuning uchun u ham tub sonlarning darajalari ko‘paytmasi orqali yagona bir raqamga ("Gyudel raqami") aylantiriladi.

Natija: matematik tizim endi o‘z formula va isbotlari haqida gapira oladi, chunki ular ham — tizim ichidagi — tub sonlardan iborat katta sonlardir. Bu metamatematikani arifmetikaga aylantirish (arithmetization of metamathematics) deb ataladi.

O‘z-o‘ziga murojaat paradoxi: "Men isbotlanmayman"

Raqamlash mexanizmi tayyor bo‘lgach, Gyudel eng murakkab qadamni qo‘ydi: tizim o‘z haqida o‘zi so‘raydigan iborani qurdi. Mantiqiy shakli quyidagicha: "Bu formula isbotlanmaydi" (bu yerda "bu formula" — shu ibora o‘zini anglatadi).

Bu G-ibora (Gödel sentence) ikki holatdan birini talab qiladi:

• Agar u rost bo‘lsa, unda haqiqatan ham isbotlanmaydi. Demak, tizim to‘liq emas (rost ibora bor, lekin isbot yo‘q).
• Agar u yolg‘on bo‘lsa, unda u isbotlanadi. Lekin yolg‘on ibora isbotlanmasa kerak (aks holda tizim ziddiyatga uchraydi). Demak, tizim muvofiq emas.

Gyudel ikkinchi variantni chetlab tashladi (matematiklar tizim muvofiq ekanligini qabul qiladi). Shuning uchun xulosa: har qanday muvofiq tizimda rost, lekin isbotlanmaydigan iboralar bor. Bu liar paradoxining ("Men yolg‘on gapiryapman") matematikada qurilgan, muhim nuqtai nazar bilan versiyasi: o‘rniga "rostlik" o‘rniga "isbotlanish" konsepsiyasi qo‘yildi.

Texnik chuqurlik: Primitive rekursivlik va ifodalash

Maqolaning qisqartmasida ko‘rsatilmagan, lekin isbot uchun zarur bo‘lgan nuqta: Gyudel barcha sintaktik xususiyatlarni (masalan, "bu raqam formulaning Gyudel raqamimi?", "bu ketma-ketik isbotmi?") primitiv rekursiv funktsiyalar sifatida ifodalab berdi. Bu degani, ularni tekshirish algoritmik (mexanik) yo‘l bilan amalga oshiriladi. Shuning uchun arifmetika o‘z sintaksisi va isbot nazariyasi haqida to‘liq to‘g‘ri va ishonchli gapirishi mumkin. Bu kompyuter fanlari uchun fundamental ahamiyatga ega: bu, dastur o‘z o‘zini tahlil qilishi (introspektsiya) va interpretator yozish asosini qo‘ydi.

Zamonaviy nashr: Cheksizlik hypotezidan To‘xtash masalasigacha

Gyudelning isbotidan so‘ng matematiklar "isbotlanmaydigan" haqiqatlar qidirishdi. Ular topildi va ular sun'iy emas, tabiiy edi:

• Cheksizlik hypotezasi (Continuum Hypothesis). Gyudel o‘zi 1940-yillarda, Pol Koen esa 1963-yilda bu masalaning standart matematik aksiyomlar (ZFC) yordamida qaror qabul qilinmasligini isbotladi. Ya'ni, cheksiz to‘plamlarning o‘lchamlari o‘rtasidagi aloqa aniqlanmasa kerak.
• To‘xtash masalasi (Halting Problem). Alan Tyuring 1936-yilda Gyudel uslubidan foydalangan holda, berilgan dastur va kiritma uchun dastur tugashi yoki doim ishlashi haqidagi javobni beruvchi umumiy algoritm yo‘qligini isbotladi. Bu kompyuter fanlarining asoslaridan biri bo‘ldi.
• Fizikada. Oxirgi yillarda kvant mehanikasi va kuchlanishli modellar kontekstida ba'zi fizikal miqdorlarning hisoblash imkonsizligi (masalan, spektral bo‘shliq mavjudligi) Gyudel tarzidagi cheklovlarga uchrayapti. Bu haqiqatning o‘zida "isbotlanmaydigan" haqiqatlar borligi gandayligini ko‘rsatadi.

Cheklovlar va ochiq savollar

Gyudel teoremalari har qanday formal tizimga qo‘llanmaydi. Ular faqat arifmetikani ifodalovchi yetarlicha kuchli tizimlar (masalan, Piyano arifmetikasi yoki ZFC) uchun rost. Oddiy, kuchlanmagan tizimlar (masalan, Presburger arifmetikasi — faqat qo‘shish) to‘liq va muvofiq bo‘lishi mumkin.

Hamda, teoremalar "matematika buzilgan" degani emas. Ular faqat yagona, avtomatik, mekhanik isbot tizimi orqali barcha haqiqatlarga erishish imkonsizligini ko‘rsatadi. Matematiklar bugun ham yangi aksiyomlar qo‘shib (masalan, katta kardinal sonlar aksiyomalari), to‘liq emaslikni "yumshtirib" borishmoqda. Lekin Gyudel isbotladi: har qanday yangi aksiyom tizimi o‘zining "G-iborasini" hosil qiladi.

Xulosa: Butun nazariya yo‘q, lekin bilim bor

Kurt Gyudel 25 yoshida matematikaning "butun nazariya" hayolini yiqdi. Uning Gyudel raqamlash usuli bugun kompyuter fani, shifrlash va formal tekshirish (formal verification) asosi. Uning natijasi: haqiqat isbotdan keng. Bu — cheklov emas, balki ilmiy qidiruvning doimiy harakati uchun kafolat. Matematika, kompyuter fanlari va fizika bugun ham Gyudelning ochgan yo‘l ustida yurmoqda, har bir qadamda yangi "isbotlanmaydigan" cho‘qqilar va ularni o‘z ichiga olgan yangi obyektlar topib bormoqda.

Asl manba: quantamagazine.org